Kvašňák byl během své kariéry nejen skvělým dirigentem hry a brilantním technikem, ale i velkým bavičem. Díky tomu se dlouholetá opora pražské Sparty stala miláčkem letenských fanoušků, kteří ji na přelomu milénia zvolili Sparťanem století.

V národním dresu se Kvašňák podílel na bronzu z Poháru národů 1960 a stříbru z mistrovství světa 1962 v Chile, zahrál si i na světovém šampionátu v Mexiku o osm let později.

Kvašňák začínal s fotbalem v rodných Košicích, koncem 50. let k velké nevoli tamních funkcionářů i příznivců přestoupil do Sparty. V rudém dresu sehrál 433 zápasů a výrazně přispěl ke dvěma mistrovským titulům. V reprezentaci nastoupil celkem ve 47 utkáních a vstřelil 13 branek.

Na sklonku kariéry si vyzkoušel angažmá v belgickém Mechelenu, brzy poté se natrvalo usadil v Praze. Zemřel v dubnu 2007 ve věku 70 let na rakovinu plic.